Agencia Estatal Boletín Oficial del Estado

LA ORDEN DE 3 DE SEPTIEMBRE DE 1987 (<BOLETIN OFICIAL DEL ESTADO> DEL DIA 14) HA MODIFICADO LA ESTRUCTURA DEL PLAN DE ESTUDIOS DEL CURSO DE ORIENTACION UNIVERSITARIA QUE HABIA SIDO FIJADA POR LAS ORDENES DE 22 DE MARZO DE 1975 Y DE 11 DE SEPTIEMBRE DE 1976, DISTRIBUYENDO EN CUATRO OPCIONES LAS MATERIAS DE LAS DOS ANTERIORMENTE EXISTENTES E INCORPORANDO A LAS OPCIONES C Y D LAS ENSEÑANZAS DE <MATEMATICAS II>, CUYO PROGRAMA DEBERA RESPONDER A LA NATURALEZA ESPECIFICA DE ESTAS OPCIONES.

DICHA ORDEN, EN LA DISPOSICION TERCERA, ENCOMIENDA A LAS DIRECCIONES GENERALES DE ENSEÑANZA SUPERIOR Y DE RENOVACION PEDAGOGICA EL ESTABLECIMIENTO DE LOS CONTENIDOS Y ORIENTACIONES PEDAGOGICAS DE ESTA MATERIA ANTES DEL COMIENZO DEL CURSO 1988.

A TAL FIN, Y EN VIRTUD DE LAS ATRIBUCIONES QUE TIENEN CONFERIDAS, LAS DIRECCIONES GENERALES DE ENSEÑANZA SUPERIOR Y DE RENOVACION PEDAGOGICA HAN RESUELTO:

PRIMERO. APROBAR EL PROGRAMA Y ORIENTACIONES PEDAGOGICAS DE LAS ENSEÑANZAS DE <MATEMATICAS II> DEL CURSO DE ORIENTACION UNIVERSITARIA, QUE FIGURAN EN EL ANEXO DE ESTA ORDEN.

SEGUNDO. DICHO PROGRAMA, QUE TENDRA VIGENCIA A PARTIR DEL AÑO ACADEMICO 1988-89, DEBERA IMPARTIRSE EN LAS OPCIONES C Y D DEL PLAN DE ESTUDIOS DEL CURSO DE ORIENTACION UNIVERSITARIA CONFIGURADO EN EL PUNTO UNO DE LA DISPOSICION SEGUNDA DE LA CITADA ORDEN DE 3 DE SEPTIEMBRE DE 1987.

LO QUE SE COMUNICA A VV. II.

MADRID, 20 DE ENERO DE 1988. EL DIRECTOR GENERAL DE ENSEÑANZA SUPERIOR, FRANCISCO DE ASIS DE BLAS ARITIO; EL DIRECTOR GENERAL DE RENOVACION PEDAGOGICA, ALVARO MARCHESI ULLASTRES.

ILMOS. SRES.

SUBDIRECTORES GENERALES DE CENTROS Y PROFESORADO Y DE ORDENACION ACADEMICA.

ANEXO

OPCIONES C Y D

<MATEMATICAS II>

1.

INTRODUCCION

LA FINALIDAD DE ESTE PROGRAMA ES PROPORCIONAR A LOS ALUMNOS, DE UNA MANERA EMINENTEMENTE PRACTICA, ALGUNAS HERRAMIENTAS SENCILLAS DEL BAGAJE MATEMATICO QUE CONSTITUYEN UNA AYUDA MUY EFICAZ PARA EL TRABAJO EN CIENCIAS HUMANAS Y SOCIALES.

SE INSISTIRA EN EL SENTIDO Y APLICACIONES DE LOS ENUNCIADOS Y NO EN LA DEMOSTRACION Y DESARROLLO MATEMATICO DE LOS MISMOS.

PARECE CONVENIENTE UTILIZAR LA HISTORIA DE LAS MATEMATICAS COMO FUENTE DE PROBLEMAS Y SITUACIONES MOTIVADORAS, ASI COMO, EN ALGUNOS CASOS, PARA PRESENTAR AL ALUMNO UNA VISION DINAMICA DE LOS CONCEPTOS Y DEL LENGUAJE MATEMATICO.

EN AQUELLOS CASOS EN QUE SEAN NECESARIOS CALCULOS MUY LABORIOSOS PARA DAR UN SIGNIFICADO NO TRIVIAL AL EJERCICIO, SE RECOMIENDA UTILIZAR CALCULADORAS DE BOLSILLO O PROGRAMAS DE ORDENADOR.

EL PROFESOR DEBERA TENER PRESENTE QUE ESTE PROGRAMA ESTA DIRIGIDO A ALUMNOS QUE NO NECESARIAMENTE HAN CURSADO LAS MATEMATICAS DEL TERCER CURSO DE BACHILLERATO. EL NIVEL DE REFERENCIA SERA, POR LO TANTO, EL DE LOS DOS PRIMEROS CURSOS, DONDE LA ASIGNATURA ES OBLIGATORIA.

2. CONTENIDOS Y ORIENTACIONES PEDAGOGICAS

2.1 ELEMENTOS DE ALGEBRA LINEAL.

SISTEMAS LINEALES:

PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS LINEALES.

METODO DE GAUSS.

INTERPRETACION DE LAS SOLUCIONES.

SIGNIFICADO GEOMETRICO DE LOS SISTEMAS LINEALES.

CALCULO MATRICIAL:

MATRICES.

DETERMINANTES.

PROGRAMACION LINEAL:

INICIACION A LA PROGRAMACION LINEAL.

PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS SENCILLOS DE PROGRAMACION LINEAL. RESOLUCION POR METODOS GRAFICOS.

SE DEBE APROVECHAR EL CONOCIMIENTO QUE TIENEN LOS ALUMNOS DE LAS TECNICAS DE RESOLUCION DE SISTEMAS SENCILLOS, PARA APLICARLAS A CASOS MAS COMPLEJOS, PREVIA REFLEXION SOBRE CUAL ES LA MAS CONVENIENTE PARA EL PROBLEMA CONCRETO.

ESTO PUEDE SER EL PUNTO DE PARTIDA PARA EL MANEJO DEL METODO DE GAUSS COMO PROCEDIMIENTO GENERAL DE RESOLUCION DE SISTEMAS LINEALES. EN LA PRACTICA, DICHOS SISTEMAS SERAN DE CUATRO INCOGNITAS COMO MAXIMO.

DEBE INSISTIRSE EN PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO SACADOS DE DIVERSOS AMBITOS Y, EN PARTICULAR, DE LAS AREAS DE MAYOR INTERES PARA LOS ALUMNOS, PROCURANDO QUE LOS DISTINTOS TIPOS DE SISTEMAS QUE PUEDEN PLANTEARSE (DETERMINADOS, INDETERMINADOS E INCOMPATIBLES), ADQUIERAN TODO SU SIGNIFICADO AL SER INTERPRETADOS EN UN CONTEXTO.

EL PLANTEAMIENTO O INTERPRETACION DE SISTEMAS SENCILLOS EN TERMINOS GEOMETRICOS (POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO) NO DEBE DAR LUGAR A UN ESTUDIO ESPECIAL DE LA GEOMETRIA ANALITICA. SI ES NECESRIO, EL ENUNCIADO DE LOS PROBLEMAS DE ESTE TIPO PUEDE INCLUIR UNA BREVE EXPLICACION DE LOS TERMINOS NOVEDOSOS.

EL ALUMNO DEBE FAMILIARIZARSE CON LA LECTURA Y DESCRIPCION DE MATRICES UTILIZANDO EL VOCABULARIO ADECUADO: FILA, ELEMENTO, DIAGONAL, MATRIZ TRIANGULAR. PUEDE CONFECCIONAR MATRICES ASOCIADAS A DIFERENTES CONTEXTOS: MATRIZ DE UN GRAFO, MATRIZ COMO TABLA DE DOBLE ENTRADA, DE UN POLIGONO, ETC.

LAS TECNICAS OPERATORIAS ENTRE MATRICES OPUEDEN JUSTIFICARSE SOBRE LA BASE DEL SIGNIFICADO QUE ADQUIEREN EN LOS CONTEXTOS ANTERIORES. UN EJEMPLO ESPECIALMENTE RELEVANTE ES EL DE LAS MATRICES ASOCIADAS A TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS PLANAS, QUE OPERAN A TRAVES DEL PRODUCTO.

EL ESTUDIO DE LOS DETERMINANTES HA DE REDUCIRSE A LOS DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN, ENCAMINADO AL CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA.

EL PROFESOR DEBE VALORAR LOS CONOCIMIENTOS DE SUS ALUMNOS EN AQUELLOS CONCEPTOS PREVIOS NECESARIOS AL ESTUDIO DE LA PROGRAMACION LINEAL, COMO EL PLANTEAMIENTO Y LA RESOLUCION GRAFICA DE INECUACIONES CON UNA O DOS INCOGNITAS, Y PROCEDER, SI ES NECESARIO, A UN REPASO DE LOS MISMOS.

LA JUSTIFICACION DE DONDE SE ENCUENTRAN LAS SOLUCIONES DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL PUEDE LOGARSE CON EJEMPLOS CONCRETOS Y APOYANDOSE EN EL SIGNIFICADO GEOMETRICO DE LA FUNCION <OBJETIVO>.

TIEMPO ESTIMADO: OCHO SEMANAS.

2.2 ANALISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRAFICAS.

FUNCIONES Y GRAFICAS:

SIGNIFICADO PRACTICO DE LAS FUNCIONES COMO DESCRIPCION DE FENOMENOS. EJEMPLO DE FUNCIONES MAS SENCILLAS Y SU REPRESENTACION.

INTERPRETACION DE GRAFICAS.

IDEA INTUITIVA DE CONTINUIDAD.

LA DERIVADA:

DERIVADAS. SIGNIFICADOS DE LA DERIVADA.

MANEJO PRACTICO DE LAS REGLAS DE DERIVACION EN CASOS SENCILLOS.

APLICACIONES AL ESTUDIO DE LA VARIACION DE UNA FUNCION Y A SU REPRESENTACION GRAFICA.

PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS.

INTERPOLACION:

IDEA Y SIGNIFICADO DE LA INTERPOLACION POLINOMICA.

INTERPOLACION LINEAL Y CUADRATICA.

LA INTEGRAL:

LA INTEGRAL.

INTEGRALES INMEDIATAS.

LA INTEGRAL DEFINIDA. SIGNIFICADO GEOMETRICO: AREA BAJO UNA CURVA. APLICACIONES AL CALCULO DE AREAS.

PARA DESCRIBIR UNA GRAFICA SE DEBEN MANEJAR CON CORRECCION TERMINOS COMO CRECIMIENTO, MINIMO, DISCONTINUIDAD, ASINTOTA, CONCAVIDAD. NO ES IMPRESCINDIBLE FORMALIZAR EL CONCEPTO DE LIMITE NI UTILIZAR UNA NOTACION RIGUROSA PARA DEFINIR EL VOCABULARIO BASICO.

PARA REPRESENTAR UNA FUNCION EL ALUMNO UTILIZARA TODOS LOS RECURSOS A SU ALCANCE: CALCULO DE PUNTOS, RELACION CON OTRAS FUNCIONES CONOCIDAS, USO DE LA CALCULADORA PARA DETERMINAR LA TENDENCIA, REFLEXION SOBRE LA FORMULA DE LA FUNCION, ETC.

CUANDO SEA NECESARIO PARA EL PROPOSITO DEL PROBLEMA, PUEDE ACUDIRSE A LA FUNCION DERIVADA Y DETERMINAR CON EXACTITUD LOS EXTREMOS DE LA GRAFICA.

EL ALUMNO DEBE ASOCIAR CIERTAS FORMAS DE GRAFICAS CON LA FORMULA CORRESPONDIENTE. EN PARTICULAR ES INTERESANTE IDENTIFICAR COMPORTAMIENTOS LINEALES, EXPONENCIALES Y PERIODICOS.

SE PROCURARA REPRESENTAR SOBRE UN MISMO SISTEMA COORDENADO UNA FAMILIA DE FUNCIONES, CON EL FIN DE QUE EL ALUMNO VALORE LA INCIDENCIA QUE TIENEN EN LA FORMA DE LA GRAFICA LOS PARAMETROS QUE INTERVIENEN EN LA EXPRESION MATEMATICA DE LA MISMA.

AUNQUE LOS ALUMNOS HAN ESTUDIADO EN EL SEGUNDO CURSO DEL BACHILLERATO EL CONCEPTO Y CALCULO DE DERIVADAS, PARECE CONVENIENTE REVISAR LA NOCION DE DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO A PARTIR DE LA TASA DE VARIACION MEDIA Y USANDO LA CALCULADORA. PARA ELLO NO ES IMPRESCINDIBLE LA FORMALIZACION DEL CONCEPTO DE LIMITE NI EL CALCULO SISTEMATICO DE LIMITES. EL MANEJO PRACTICO DE DERIVADAS PUEDE LLEGAR HASTA LA REGLA DE LA CADENA EN CASOS SENCILLOS.

LA TECNICA MAS ELEMENTAL DE INTERPOLACION, LA MERA SUSTITUCION DE VALORES EN LA FORMULA GENERAL DEL POLINOMIO, ESTABLECE UN PUENTE ENTRE ESTA PARTE DEL PROGRAMA Y LA DE ALGEBRA. EN CADA CASO CONCRETO, Y EN PROBLEMAS QUE RESPONDAN A DATOS DE LA VIDA REAL, SE PODRA ENJUICIAR EL VALOR PRACTICO DE LA INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION QUE PROPORCIONA LA FUNCION HALLADA.

EXCEDE EL PROPOSITO DE ESTE CURSO DEMOSTRAR LA RELACION ENTRE FUNCION PRIMITIVA E INTEGRAL DEFINIDA. BASTA CON QUE EL ALUMNO MANEJE LA REGLA DE BARROW PARA EL CALCULO DE AREAS.

TIEMPO ESTIMADO: NUEVE SEMANAS.

2.3 ELEMENTOS DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA.

ESTADISTICA:

TERMINOLOGIA: POBLACION, MUESTRA, INDIVIDUO, VARIABLE...

EL PORQUE DE LAS MUESTRAS. COMO DEBE SER UNA MUESTRA.

MANEJO DE TABLAS. SIGNIFICADO.

GRAFICAS ESTADISTICAS.

PARAMETROS ESTADISTICOS. SIGNIFICADO Y CALCULO: MEDIA Y DESVIACION TIPICA, VARIANZA. MEDIANA, CUARTILES Y CENTILES.

DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES:

CORRELACION. SIGNIFICADO.

CALCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACION E INTERPRETACION.

REGRESION LINEAL.

PROBABILIDAD:

AZAR Y PROBABILIDAD. LEYES DE LA PROBABILIDAD. ASIGNACION DE PROBABILIDADES: PROBABILIDAD <A PRIORI> Y <A POSTERIORI>.

EXPERIENCIAS COMPUESTAS. PROBABILIDAD CONDICIONADA.

CALCULO DE PROBABILIDADES SENCILLAS.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES DISCRETAS:

QUE ES UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD?

PARAMETROS M Y S EN UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD.

ALGUNOS EJEMPLOS SENCILLOS DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DISCRETA.

SOMERA DESCRIPCION DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL. APLICACIONES.

FORMULAS PARA LA OBTENCION DE M Y S.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS:

PECULIARIDADES DE LAS DISTRIBUCIONES DE VARIABLE CONTINUA.

LEY DE DISTRIBUCION NORMAL. DESCRIPCION. CALCULO DE PROBABILIDADES DE DISTRIBUCIONES NORMALES CON EL USO DE TABLAS.

LA BINOMIAL COMO APROXIMACION A LA NORMAL.

TEST DE NORMALIDAD.

LA FINALIDAD DE ESTA PARTE DEL CURSO ES PROPORCIONAR A LOS ALUMNOS ALGUNAS NOCIONES DE ESTADISTICA APLICADA A LAS CIENCIAS SOCIALES Y HUMANAS.

SE DEBE PRETENDER QUE EL APARATO CONCEPTUAL INDISPENSABLE PARA ESTE OBJETIVO SE PRESENTE EN TODO MOMENTO FIRMEMENTE APOYADO EN LA INTUICION Y APOYADO EN APLICACIONES PRACTICAS.

LA APROXIMACION A LAS TAREAS RUTINARIAS DE LOS CALCULOS ESTADISTICOS MEDIANTE EL USO ADECUADO DE LA CALCULADORA Y EL ORDENADOR, FACILITARA LAS APLICACIONES REALES DE LA ESTADISTICA.

A PARTIR DEL ESTUDIO DE NUBES DE PUNTOS SE PUEDE LLEGAR AL CONCEPTO DE RELACION ESTADISTICA Y SU DIFERENCIA CON LA RELACION FUNCIONAL.

NO ES NECESARIO FORMALIZAR EL CONCEPTO NI EL CALCULO DE RECTA DE REGRESION.

EL CALCULO DE FRECUENCIAS RELATIVAS Y LAS OBSERVACIONES REFERENTES A SU ESTABILIDAD DEBEN SER EL CAUCE PARA LA NOCION DE PROBABILIDAD.

ES IMPORTANTE HACER RESALTAR LA DIFERENCIA ENTRE LA PROBABILIDAD QUE SE ASIGNA, Y QUE DEPENDERA DE LOS ELEMENTOS DE JUICIO QUE SE POSEAN <A PRIORI>, Y LA PROBABILIDAD <A POSTERIORI> OBTENIDA EXPERIMENTALMENTE.

LA ASIGNACION DE PROBABILIDADES DEBE REALIZARSE MEDIANTE LA EXPERIMENTACION O APLICANDO LA REGLA DE LAPLACE. EL PROFESOR VALORARA LA NECESIDAD DE REPASAR LAS TECNICAS DE RECUENTO, LA COMBINATORIA EN PARTICULAR, ESTUDIADAS EN EL PRIMER CURSO.

TIEMPO ESTIMADO: NUEVE SEMANAS.